Cursus Wiskunde
1. Vorm en characteristiek
Gewone zijde = grenst aan juist 2 driehoeken
Rand zijde = grenst aan slechts 1 driehoek
Euler characteristiek v oppervlak
X=V–E+F V = aantal hoekpunten E = aantal zijden / ribben F = aantal driehoeken / vlakken
Toon aan dat de Euler characteristiek niet afhangt vh gekozen raster vh
opp
1) Fijner raster opleggen, verder indelen , nieuw hoekpunt toevoegen
2) Hoekpunten, zijden, driehoeken bijgekomen?
3) V +1, E +3, F +2 V-E+F = 1 – 3 + 2 = 0
4) Zelfde uitkomen
Toon aan dat Euler characteristiek zelfde blijft als we raster nemen v
veelhoeken ipv driehoek
1) Verder opdelen in driehoeken n-hoek n-2
driehoeken
(bv: 6-hoek 6-2 = 4 driehoeken)
2) Hoekpunten, zijden, driehoeken bijgekomen?
3) V +0, E +(n-3), F +(n-3) V-E+F = 0 – (6-3) + (6-3) =
0
4) Zelfde uitkomen
Kegel Cilinder Möbius-band Torus Sfeer
ELK OPP = OPGEVOUWEN VEELHOEK
Zwarte = randzijden
Rode = aan elkaar plakken
Pijl = welke richting plakken
2−2+ 2−3+ 2−3+ 1−2+ 3−2+
1 veelhoek F = 1 1 1 1 1 1
E: aanelkaargeplakte = 1 zijde
CROSSCAP
FLES V KLEIN
χ=2−2+1
=1
Gesloten oppervlakten (zonder rand)
Oppervlakte zonder rand, opgevouwen veelhoek waarvan alle zijden 2 aan 2 geplakt w χ = 1 − 2 + 1
=0
Dan krijg je sfeer, torus, of torussen die aan elkaar plakken
Genus g = aantal gaten in opp 2g = 2 – X
,Cursus Wiskunde
CONVEX veelvlak = som binnenhoeken <360°
CONCAAF veelvlak = som binnenhoeken >360°
Stelling v Euler
Als een convex veelvlak V hoeken, E ribben en F zijvlakken h, dan geldt:
X=V–E+F=2 V = hoekpunten E = ribben F = zijvlakken
Convex vv Platonisch veelvlak als elk zijvlak zelfde veelhoek is (n), en in elk hoekpunt evenveel zijvlakken
samenkomen (r)
n = vorm zijvlakken
r = aantal vlakken die samenkomen in punt
Convex vv Archimedisch veelvlak als elk zijvlak zelfde veelhoek is, en in elk hoekpunt evenveel zijvlakken v zelfde soort
samenkomen (boven-ondervlak = regelmatige n-hoek)
Hoeveel Platonische en Archimedisch veelvlakken
bestaan er?
5 platonische veelvlakken
Elk platonisch veelvlak = Archimedisch
Prisma’s en anti-prisma’s
(Prisma: hoekpunten boven-onder mooi tegenover elkaar (kan je verbinden met regelmatige vierhoeken)
anti-prisma (hoekpunten boven-ondervlak gedraaid, driehoeken gebruiken)
Juist 13 andere oppervlakten
, Cursus Wiskunde
2. Symmetrie en orbifolds
1) Rotatie-symmetrie rond rotatiecentrum, over rotatie-hoek
2) Spiegeling-symmetrie tov spiegel-as
3) Translatie / verschuivings- symmetrie
4) Glij spiegeling spiegeling + translatie
Spiegelassen rotatiecentrum 180° 90° translaties
Gebied verkleinen rotaties orbifold
1. Vorm en characteristiek
Gewone zijde = grenst aan juist 2 driehoeken
Rand zijde = grenst aan slechts 1 driehoek
Euler characteristiek v oppervlak
X=V–E+F V = aantal hoekpunten E = aantal zijden / ribben F = aantal driehoeken / vlakken
Toon aan dat de Euler characteristiek niet afhangt vh gekozen raster vh
opp
1) Fijner raster opleggen, verder indelen , nieuw hoekpunt toevoegen
2) Hoekpunten, zijden, driehoeken bijgekomen?
3) V +1, E +3, F +2 V-E+F = 1 – 3 + 2 = 0
4) Zelfde uitkomen
Toon aan dat Euler characteristiek zelfde blijft als we raster nemen v
veelhoeken ipv driehoek
1) Verder opdelen in driehoeken n-hoek n-2
driehoeken
(bv: 6-hoek 6-2 = 4 driehoeken)
2) Hoekpunten, zijden, driehoeken bijgekomen?
3) V +0, E +(n-3), F +(n-3) V-E+F = 0 – (6-3) + (6-3) =
0
4) Zelfde uitkomen
Kegel Cilinder Möbius-band Torus Sfeer
ELK OPP = OPGEVOUWEN VEELHOEK
Zwarte = randzijden
Rode = aan elkaar plakken
Pijl = welke richting plakken
2−2+ 2−3+ 2−3+ 1−2+ 3−2+
1 veelhoek F = 1 1 1 1 1 1
E: aanelkaargeplakte = 1 zijde
CROSSCAP
FLES V KLEIN
χ=2−2+1
=1
Gesloten oppervlakten (zonder rand)
Oppervlakte zonder rand, opgevouwen veelhoek waarvan alle zijden 2 aan 2 geplakt w χ = 1 − 2 + 1
=0
Dan krijg je sfeer, torus, of torussen die aan elkaar plakken
Genus g = aantal gaten in opp 2g = 2 – X
,Cursus Wiskunde
CONVEX veelvlak = som binnenhoeken <360°
CONCAAF veelvlak = som binnenhoeken >360°
Stelling v Euler
Als een convex veelvlak V hoeken, E ribben en F zijvlakken h, dan geldt:
X=V–E+F=2 V = hoekpunten E = ribben F = zijvlakken
Convex vv Platonisch veelvlak als elk zijvlak zelfde veelhoek is (n), en in elk hoekpunt evenveel zijvlakken
samenkomen (r)
n = vorm zijvlakken
r = aantal vlakken die samenkomen in punt
Convex vv Archimedisch veelvlak als elk zijvlak zelfde veelhoek is, en in elk hoekpunt evenveel zijvlakken v zelfde soort
samenkomen (boven-ondervlak = regelmatige n-hoek)
Hoeveel Platonische en Archimedisch veelvlakken
bestaan er?
5 platonische veelvlakken
Elk platonisch veelvlak = Archimedisch
Prisma’s en anti-prisma’s
(Prisma: hoekpunten boven-onder mooi tegenover elkaar (kan je verbinden met regelmatige vierhoeken)
anti-prisma (hoekpunten boven-ondervlak gedraaid, driehoeken gebruiken)
Juist 13 andere oppervlakten
, Cursus Wiskunde
2. Symmetrie en orbifolds
1) Rotatie-symmetrie rond rotatiecentrum, over rotatie-hoek
2) Spiegeling-symmetrie tov spiegel-as
3) Translatie / verschuivings- symmetrie
4) Glij spiegeling spiegeling + translatie
Spiegelassen rotatiecentrum 180° 90° translaties
Gebied verkleinen rotaties orbifold
