SV Datamodelleren
Isabelle van Aard- nov 2019
Grondslagen
Propositielogica
De propositielogica is een tak van logica die zich bezighoudt met geldige redeneringen in
de vorm van proposities. Proposities zijn uitspraken of beweringen die ofwel waar, ofwel onwaar zijn
Natuurlijke talen zijn niet erg precies:
• Socrates is mens. Mens is sterfelijk. Socrates is sterfelijk (waar)
• Ik ben iemand. Iemand schilderde mona lisa. Dus ik ben de schilder van de mona lisa (onwaar)
Oplossing: formele taal. Belangrijk voor het specificeren van programma's.
Logica legt de basis voor werken met SQL.
Het alfabet is de verzameling σ ≔ 𝐴 ∪ 𝑉 ∪ 𝐻. Hiermee kunnen woorden
uit deze taal als volgt worden opgebouwd:
1. Een atoom is een woord
2. Als 𝑓 en 𝑔 woorden zijn, dan zijn (𝑓 ∧ 𝑔), (𝑓 ∨ 𝑔), (𝑓 → 𝑔), (𝑓 ↔ 𝑔) en ¬𝑓 woorden
3. Alle woorden worden op deze manier gevormd. De woorden van deze taal noemen we proposities
▪ De waarheid van de atomen (telkens in taal) wordt bepaald door hun interpretatie in een model.
▪ De waarheid van een propositie wordt volledig bepaald door
de waarde die je aan de atomen toekent.
▪ 2=3 is niet waar in het model van de natuurlijke getallen
▪ Om de waarde van een propositie f te bepalen, hoeven we niet de
waarden van alle atomen te weten, maar alleen van
de atomen die in f voorkomen.
▪ Als een propositie 𝑓 waar is in ieder model (→
waarheidstabel van 𝑓 alleen maar 1-en), dan noemen we de
propositie logisch waar.
▪ Notatie: ⊨ 𝑓
▪ Een logisch ware propositie heet ook wel een
tautologie
▪ Als een propositie 𝑓 niet logisch waar is, wordt
dat genoteerd met ⊭
1
,▪ Logisch equivalent : als f waar is in een model, dan
en slechts dan als g waar is in dat model.
o Wetten van De Morgan
o a=b en b=a is wiskundig een logisch equivalent, maar
in NL niet altijd eenduidig.
a → (b → a):
▪ A en b is 0.
▪ Dan is b -> a 1. (want waar)
▪ dan is a → (b → a) 1; want de conclusie (b -> a) is 1
("waar"), en als de conclusie waar is, is de uitkomst 1.
➢ Buitenste haakjes weglaten, maar binnenste haakjes niet!
Antw: inclusieve; XOR is 1+0=1 en 1+1=0
• ¬ bindt sterker dan ∧
• ∧ bindt sterker dan ∨
• ∨ bindt sterker dan →
• → bindt sterker dan ↔
Hieronder volgen enkele equivalenties die de distributie van de ¬, ∧ en
∨ operatoren over haakjes weergeven. De eerste twee hebben een naam en heten de wetten van
De Morgan.
1. ¬(f ∧ g) ≡ ¬f ∨ ¬g.
2. ¬(f ∨ g) ≡ ¬f ∧ ¬g.
3. f ∧ (g ∨ h) ≡ f ∧ g ∨ f ∧ h.4
4. f ∨ g ∧ h ≡ (f ∨ g) ∧ (f ∨ h).
2
, Predikaatlogica
• Natuurlijke taal is ambigu (dubbelzinnig).
• ∀ staat hier voor “voor alle"
• ∃ staat voor “er is een”
• ∈ staat voor de gebruikelijke “is element van”
• ∪ staat voor “vereniging”
• ∀ en ∃ binden sneller dan alle andere voegtekens
• Voor de leesbaarheid gebruiken we extra rechte haakjes;
[..]
• Waarheid van een formule is relatief en hangt af van een
interpretatie en een model
o Een model is het stukje van de ‘echte’ wereld
waarin de formules een betekenis krijgen via de
interpretatie
➢ Domein: alle studenten in een lokaal’
➢ Eigenschap: is niet ouder dan 20 jaar
➢ Relatie: is niet ouder dan
➢ Een interpretatie wordt gegeven door het woordenboek, waarin staat:
o Welke verzamelingen er horen bij de domeinsymbolen
o Welke subjecten er horen bij de namen (en in welke domeinverzamelingen deze
zitten)
o Welke predikaten en relaties er horen bij de predikaat- en relatiesymbolen.
Modelleren
Het woord model wordt gebruikt om aan te geven dat iets een voorbeeld is.
Afbeelding is ook een belangrijk aspect van een model.
Een modelbegrip voor onze doelstelling is nodig → het ontwerp, gebruik en onderhoud van
informatiesystemen.
Des te meer preciezere begrippen, des te meer preciezer je de wereld kan beschrijven.
Bedrijfsinformatiesysteem
• Een systeem waarmee informatie gegenereed, bewaard, verwerkt en beschikbaar gesteld kan w
orden (en dus kan zorgdragen voor de communicatie van informatie). Een
bedrijsinformatiesysteem omvat alle delen van een organisatie.
3
Isabelle van Aard- nov 2019
Grondslagen
Propositielogica
De propositielogica is een tak van logica die zich bezighoudt met geldige redeneringen in
de vorm van proposities. Proposities zijn uitspraken of beweringen die ofwel waar, ofwel onwaar zijn
Natuurlijke talen zijn niet erg precies:
• Socrates is mens. Mens is sterfelijk. Socrates is sterfelijk (waar)
• Ik ben iemand. Iemand schilderde mona lisa. Dus ik ben de schilder van de mona lisa (onwaar)
Oplossing: formele taal. Belangrijk voor het specificeren van programma's.
Logica legt de basis voor werken met SQL.
Het alfabet is de verzameling σ ≔ 𝐴 ∪ 𝑉 ∪ 𝐻. Hiermee kunnen woorden
uit deze taal als volgt worden opgebouwd:
1. Een atoom is een woord
2. Als 𝑓 en 𝑔 woorden zijn, dan zijn (𝑓 ∧ 𝑔), (𝑓 ∨ 𝑔), (𝑓 → 𝑔), (𝑓 ↔ 𝑔) en ¬𝑓 woorden
3. Alle woorden worden op deze manier gevormd. De woorden van deze taal noemen we proposities
▪ De waarheid van de atomen (telkens in taal) wordt bepaald door hun interpretatie in een model.
▪ De waarheid van een propositie wordt volledig bepaald door
de waarde die je aan de atomen toekent.
▪ 2=3 is niet waar in het model van de natuurlijke getallen
▪ Om de waarde van een propositie f te bepalen, hoeven we niet de
waarden van alle atomen te weten, maar alleen van
de atomen die in f voorkomen.
▪ Als een propositie 𝑓 waar is in ieder model (→
waarheidstabel van 𝑓 alleen maar 1-en), dan noemen we de
propositie logisch waar.
▪ Notatie: ⊨ 𝑓
▪ Een logisch ware propositie heet ook wel een
tautologie
▪ Als een propositie 𝑓 niet logisch waar is, wordt
dat genoteerd met ⊭
1
,▪ Logisch equivalent : als f waar is in een model, dan
en slechts dan als g waar is in dat model.
o Wetten van De Morgan
o a=b en b=a is wiskundig een logisch equivalent, maar
in NL niet altijd eenduidig.
a → (b → a):
▪ A en b is 0.
▪ Dan is b -> a 1. (want waar)
▪ dan is a → (b → a) 1; want de conclusie (b -> a) is 1
("waar"), en als de conclusie waar is, is de uitkomst 1.
➢ Buitenste haakjes weglaten, maar binnenste haakjes niet!
Antw: inclusieve; XOR is 1+0=1 en 1+1=0
• ¬ bindt sterker dan ∧
• ∧ bindt sterker dan ∨
• ∨ bindt sterker dan →
• → bindt sterker dan ↔
Hieronder volgen enkele equivalenties die de distributie van de ¬, ∧ en
∨ operatoren over haakjes weergeven. De eerste twee hebben een naam en heten de wetten van
De Morgan.
1. ¬(f ∧ g) ≡ ¬f ∨ ¬g.
2. ¬(f ∨ g) ≡ ¬f ∧ ¬g.
3. f ∧ (g ∨ h) ≡ f ∧ g ∨ f ∧ h.4
4. f ∨ g ∧ h ≡ (f ∨ g) ∧ (f ∨ h).
2
, Predikaatlogica
• Natuurlijke taal is ambigu (dubbelzinnig).
• ∀ staat hier voor “voor alle"
• ∃ staat voor “er is een”
• ∈ staat voor de gebruikelijke “is element van”
• ∪ staat voor “vereniging”
• ∀ en ∃ binden sneller dan alle andere voegtekens
• Voor de leesbaarheid gebruiken we extra rechte haakjes;
[..]
• Waarheid van een formule is relatief en hangt af van een
interpretatie en een model
o Een model is het stukje van de ‘echte’ wereld
waarin de formules een betekenis krijgen via de
interpretatie
➢ Domein: alle studenten in een lokaal’
➢ Eigenschap: is niet ouder dan 20 jaar
➢ Relatie: is niet ouder dan
➢ Een interpretatie wordt gegeven door het woordenboek, waarin staat:
o Welke verzamelingen er horen bij de domeinsymbolen
o Welke subjecten er horen bij de namen (en in welke domeinverzamelingen deze
zitten)
o Welke predikaten en relaties er horen bij de predikaat- en relatiesymbolen.
Modelleren
Het woord model wordt gebruikt om aan te geven dat iets een voorbeeld is.
Afbeelding is ook een belangrijk aspect van een model.
Een modelbegrip voor onze doelstelling is nodig → het ontwerp, gebruik en onderhoud van
informatiesystemen.
Des te meer preciezere begrippen, des te meer preciezer je de wereld kan beschrijven.
Bedrijfsinformatiesysteem
• Een systeem waarmee informatie gegenereed, bewaard, verwerkt en beschikbaar gesteld kan w
orden (en dus kan zorgdragen voor de communicatie van informatie). Een
bedrijsinformatiesysteem omvat alle delen van een organisatie.
3
