Samenvatting Kansrekening en statistiek

Tweezijdige toets omtrent de populatievariantie

1) Formuleer de te toetsen hypothesen

H0 : 𝜎 2 = 𝜎02
Ha : 𝜎 2 ≠ 𝜎02

2) Welke steekproefvariabele / toetsingsgrootheid zal je gebruiken om een
beslissing te nemen omtrent deze hypothesen?

de steekproefvariantie 𝑠 2

(𝑛−1)𝑠2
de toetsingsgrootheid 𝜒 = 𝜎02


3) Welke verdeling verwacht je onder de nulhypothese + wat zijn de
gemaakte veronderstellingen?

Voor normaal verdeelde steekproefgegevens:
(𝑛 − 1)𝑆 2 2
~𝜒𝑛−1
𝜎02

4) Maak een schets van de verwachte verdeling van de beschouwde
steekproefvariabele onder H_0 en onder H_1 en duid hierop aan (a) de kans
op een type I fout (rood), (b) de kans op een type II fout (groen), (c) het
onderscheidingsvermogen (zwart gearceerd ||||), (d) het
aanvaardingsgebied, (e) het verwerpingsgebied




Tweezijdige toets omtrent de populatievariantie

,5) Leid een uitdrukking af voor de kritieke waarde bij significantieniveau α

𝛼 = 𝑃((𝑆 2 < 𝑐𝐿 ) of (𝑆 2 > 𝑐𝑈 )|𝜎 2 = 𝜎02 )

(𝑛 − 1)𝑆 2 (𝑛 − 1)𝑐𝐿 (𝑛 − 1)𝑆 2 (𝑛 − 1)𝑐𝑈
𝛼 = 𝑃( < )+𝑃( > )
𝜎02 𝜎02 𝜎02 𝜎02

2
(𝑛 − 1)𝑐𝐿 2
(𝑛 − 1)𝑐𝑈
𝛼 = 𝑃 (𝜒𝑛−1 < ) + 𝑃 (𝜒𝑛−1 > )
𝜎02 𝜎02

2
(𝑛 − 1)𝑐𝐿 (𝑛 − 1)𝑐𝐿 𝜎02 𝜒1− 𝛼
𝛼 2 2 2
;𝑛−1
= 𝑃 (𝜒𝑛−1 < 2 ) ⇒ 𝜒1− 𝛼 = ⇒ 𝑐𝐿 =
2 𝜎0 2
;𝑛−1 𝜎02 𝑛−1


(𝑛 (𝑛 𝜎02 𝜒𝛼2;𝑛−1
𝛼 − 1)𝑐𝑈 − 1)𝑐𝑈
2
= 𝑃 (𝜒𝑛−1 > 2 ) ⇒ 𝜒𝛼2;𝑛−1 = 2 ⇒ 𝑐𝑈 = 2
2 𝜎0 2 𝜎0 𝑛−1
6) Geef een uitdrukking voor de p-waarde

(𝑛 − 1)𝑠 2
𝑠 2 < 𝜎02 : 𝑝 = 2𝑃(𝑆 2 < 𝑠 2 |𝜎 2 = 𝜎02 ) = 2𝑃 (𝜒𝑛−1
2
< )
𝜎02

(𝑛 − 1)𝑠 2
2
𝑠 > 𝜎02 : 2
𝑝 = 2𝑃(𝑆 > 𝑠 |𝜎 = 2 2
𝜎02 ) = 2
2𝑃 (𝜒𝑛−1 > )
𝜎02

7) Formuleer beslissingsregels

aanvaarden H0 : verwerpen H0 :

𝑐𝐿 ≤ 𝑠 2 ≤ 𝑐𝑈 𝑠 2 < 𝑐𝐿 of 𝑠 2 > 𝑐𝑈

2
𝜒1− 𝛼
;𝑛−1
≤ 𝜒 ≤ 𝜒𝛼2;𝑛−1 2
𝜒 < 𝜒1− 𝛼
;𝑛−1
of χ > 𝜒𝛼2;𝑛−1
2 2 2 2


p≥α p<α

8) Geef een uitdrukking voor de kans op een type II fout

𝛽 = 𝑃(𝑐𝐿 ≤ 𝑆 2 ≤ 𝑐𝑈 |𝜎 2 = 𝜎12 )

(𝑛 − 1)𝑐𝐿 (𝑛 − 1)𝑐𝑈
𝛽 = 𝑃( 2 <𝜒< )
𝜎1 𝜎12




Tweezijdige toets omtrent de populatievariantie

,Rechts eenzijdige toets omtrent het populatiegemiddelde met gekende
variantie

1) Formuleer de te toetsen hypothesen

H0 : μ = μ 0
Ha : μ > μ 0

2) Welke steekproefvariabele / toetsingsgrootheid zal je gebruiken om een
beslissing te nemen omtrent deze hypothesen?

het steekproefgemiddelde 𝑥

𝑥−𝜇0
de toetsingsgrootheid 𝑧 =
𝜎⁄√𝑛


3) Welke verdeling verwacht je onder de nulhypothese + wat zijn de
gemaakte veronderstellingen?

Voor normaal verdeelde gegevens of voor een voldoende grote steekproef:
𝜎2
𝑋~𝑁 (𝜇0 , )
𝑛
𝑍~𝑁(0,1)

4) Maak een schets van de verwachte verdeling van de beschouwde
steekproefvariabele onder H_0 en onder H_1 en duid hierop aan (a) de kans
op een type I fout (rood), (b) de kans op een type II fout (groen), (c) het
onderscheidingsvermogen (zwart gearceerd ||||), (d) het
aanvaardingsgebied, (e) het verwerpingsgebied




Rechts eenzijdige toets omtrent het populatiegemiddelde met gekende variantie

, 5) Leid een uitdrukking af voor de kritieke waarde bij significantieniveau α

𝛼 = 𝑃(𝑋 > 𝑐|𝜇 = 𝜇0 )

𝑋 − 𝜇0 𝑐 − 𝜇0
𝛼 = 𝑃( > )
𝜎 ⁄ √𝑛 𝜎⁄√𝑛

𝑐 − 𝜇0 𝑐 − 𝜇0 𝜎
𝛼 = 𝑃 (𝑍 > ) ⇒ 𝑧𝛼 = ⇒ 𝑐 = 𝜇0 + 𝑧𝛼
𝜎 ⁄ √𝑛 𝜎⁄√𝑛 √𝑛

6) Geef een uitdrukking voor de p-waarde

𝑝 = 𝑃(𝑋 > 𝑥|𝜇 = 𝜇0 )

𝑋 − 𝜇0 𝑥 − 𝜇0
𝑝 = 𝑃( > )
𝜎 ⁄ √𝑛 𝜎 ⁄ √𝑛

𝑝 = 𝑃(𝑍 > 𝑧)

7) Formuleer beslissingsregels

aanvaarden H0 : verwerpen H0 :

x≤c x>c

z ≤ z𝛼 z > z𝛼

p≥α p<α

8) Geef een uitdrukking voor de kans op een type II fout

𝛽 = 𝑃(𝑋 < 𝑐|𝜇 = 𝜇1 )

𝑋 − 𝜇1 𝑐 − 𝜇1
𝛽 = 𝑃( < )
𝜎⁄√𝑛 𝜎⁄√𝑛

𝑐 − 𝜇1
𝛽 = 𝑃 (𝑍 < )
𝜎⁄√𝑛




Rechts eenzijdige toets omtrent het populatiegemiddelde met gekende variantie