-/H1 Logaritmische functies
Voorkennis: Exponentiële functies
Pagina 12
Vla In 2 jaar neemt de dagwaarde af van 25 000 euro naar 20 250 euro.
20 250
De groeifactor per 2 jaar is 25 000=0,81. De groeifactor per jaar is
,1
dus ( 0,81)2 = 0,9.
b De afname per jaar is (1 — 0,9) • 100% = 10%.
c W= 25000 • 0,9' geeft
t in jaren 0 1 2 3 4 5
Win euro 25 000 22 500 20 250 18 225 16 402,5 14 762,25
De benadering is zeer goed, want de waarden komen overeen met de waarden
in de tabel.
d Per 10 jaar is de groeifactor 0,91° 0,3487.
e Per 10 jaar neemt de dagwaarde af met (1 — 0,3487) • 100% ---- 65,1%.
v-2a Bij een exponentiële functie staat in de exponent een uitdrukking in x.
De exponentiële functies zijn dus f(x) = 4 • Mx, g(x) = 2 • 1,7x en
j(x) = 7 • 1,0001x.
b De functies g enj zijn stijgend, omdat de waarde van y altijd toeneemt als x
toeneemt. De groeifactor is dan groter dan 1. Bij g enjzijn de groeifactoren
1,7 en 1,0001.
c Voor het snijpunt van de grafieken met de y-as geldt x = 0.
Invullen in de functies geeft de y-coiirdinaat:
f(0) = 4 • Gr = 4 • 1 = 4, dus (0, 4) is het snijpunt voor de grafiek van,/
g(0) = 2 1,7° = 2 • 1 = 2, dus (0, 2) is het snijpunt voor de grafiek van g.
j(0) = 7 • 1,0001° = 7 • 1 = 7, dus (0, 7) is het snijpunt voor de grafiek van j.
V-3a De beginhoeveelheid b = 1720 en de groei per jaar is 5,7%,
dus de groeifactor g = 1,057.
Het functievoorschrift is f(t) = 1720 • 1,0571.
b De beginhoeveelheid is 37 980 en de groeifactor per week is 100 — 0,5 = 99,5%,
dus de groeifactor g = 0,995.
Het functievoorschrift is f(t) = 37 980.0,9951.
c De hoeveelheid neemt met 25% per dag toe, dus na één dag is er 25% meer en
groeit de hoeveelheid 1,25 keer. De groeifactor g = 1,25.
12500
Voor t = 2 is de hoeveelheid 12 500 dus 12500 = b - 1,252 b = = 8000.
1 ,252
Het functievoorschrift is f(t) = 8000 • 1,25'.
, HOOFDSTUK 1 LOGARITMISCHE FUNCTIES
37 014 ( 37 014
d Uit 134 780 . g • g • g = 37 014 volgt g3 = g=
134 780 134 780) - 0'65'
134 780
Voor t = 2 is de hoeveelheid 134 780 dus 134 780 = b • 0,652 = b = - 319006.
0,652
Het functievoorschrift is f(t) = 319006 • 0,65'.
Pagina 13
V-4a 53 . 54 = 5.5.5. 5.5.5.5 = 57
b (72)5 = (72) . (72) . (72) , (72) , (72) = 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 = 710
1 23 2.2.2 2, • 2.2 1 1
c
2-4 23 24 23 24 2•2•2•2 2 •2„ 2. 2 2' -
d (53)2 - 55 = (53) • (53) • 55 = 5 5 - 5 • 5 5 - 5 • 5 - 5 - 5 - 5 • 5 = 511
V-5a 7-3 =
73
1
b g-5 =
G) 2 = (3-1)-2 = 3-1 • -2 = 32 = 9
V-6a 314. 3-16 = 314+(-16) = 314-16 = 3-2 C 7x+1 . 7-x+3 = 7(x+1)+(-x+3)
a -5 , al2 = a-3-5+12 = a4 7x+1-x+3 = 71+3 = 74
b (1-3
v-7a 21 +5x = 8 d 8 - 4P = 2
21+5x = 23 23 • (22) = 21
1 + 5x = 3 23. 22,p = 21
5x = 2 23+ 2P = 21
,... 2
X— 3 + 2p = 1
13 52" = 25 2p = -2
52t-8 = 5-2 P = -1
2t-8 = -2 e 6.6x= 6
2t = 6 61+x = 6-1
t=3 1 + x = —1
c 3-t = 9 x = —2
3-t = 32 f 52t•53t =
-t = 2 55t = 5o
t = —2 51=0
t=0
V- 8a 3-x =5.
Het lukt niet om 5 als macht van 3 te schrijven. Met de rekenmachine:
Y1 = 3"(-X) en Y2 = 5.
Venster: standaard
Calc intersect geeft als oplossing x -1,46.
b 4 • r+3 7
Het lukt niet om 7 als macht van 2 te schrijven. Met de rekenmachine:
Y1 = 4*2^(X+3) en Y2 = 7.
Venster: standaard
Caic intersect geeft als oplossing x -2,19.
, HOOFDSTUK 1 LOGARITMISCHE FUNCTIES
c 50,3x = 1 + 2-x.
Met de rekenmachine:
Y1 = 5^(0.3X) en Y2 = 1+2^(—X).
Venster: standaard
Calc intersect geeft als oplossing x 0,89.
d —3x + 4 = —4 + (212-x
Met de rekenmachine:
Y1 = —3X+4 en Y2 = —4+0.5^(2—X).
Venster: standaard
Calc intersect geeft als oplossing x 2,27.
1-1 Logaritmen
Pagina 14
la 2x = 4 d 5x=
2x = 22 5x = Sz
x=2 x= 2
b 3x = 27 e 2x = 256
3x = 33 2x = 28
X = 3 x=8
c 10x= f 3x = (D4
10x = 10-1 3x = (3-1)4
x = —1 3x = 3-4
x = —4
2a 3x = a is algebraïsch op te lossen als a een macht van 3 is. Tussen 1 en 10 zijn
de getallen 3 en 9 machten van 3.
b Tussen 100 en 1000 liggen de machten 35 = 243 en 36 = 729, dus a = 243 en
a = 729.
3a De vergelijking los je exact op door de exponenten met elkaar te vergelijken.
De grondtallen moeten dan gelijk zijn. Omdat 7 niet als macht van 2 te
schrijven is en 2 niet als macht van 7 lukt het niet om een gemeenschappelijk
grondtal te vinden.
b Met de rekenmachine: 22,80 6,96 en 22,81 7,01.
6,96 < 7 < 7,01
22,80 < 2x < 22,81
Voor een waarde van x ergens tussen 2,80 en 2,81 zal 2x de waarde 7
aannemen, dus geldt voor de oplossing 2,80 < x < 2,81.
c Met de rekenmachine:
Y1 = 2^X en Y2 = 7.
Venster: standaard
Calc intersect geeft als oplossing x 2,8074.
, HOOFDSTUK 1 LOGARITMISCHE FUNCTIES
4a 32 = 9 en 33 = 27
9 < 25 < 27
32 <3x<33
Voor 3x = 25 ligt x dus tussen 2 en 3.
b 32 = 9 en 33 = 27
9 < 15 < 27
32 <3x<33
Voor 3x = 15 ligt x dus tussen 2 en 3.
61 = 6 en 62 = 36
6 < 30 < 36
61 < 6x < 62
Voor 6x = 30 ligt x dus tussen 1 en 2,
De oplossing van 3x = 15 is dus groter.
5a 7x = 4 = x = 7 log(4) c 5x= 14 x = slog(14)
b 7x= 10= x = /log(10) d 5x= 125= 5x =53 = x = 3
6a x = 3 log(5) 3x = 5
b x =7 104 =
C x = 4 is de oplossing van bijvoorbeeld 2x = 16, = 4 of 3x = 34, dus van
3x = 81.
Pagina 15
7a 3 log(27) = 3, want 27 = 33.
b 21°4) = -3, want 4 = 2-3.
c slog(5) = 11, want 5.\I = 5 . = 51 . = 51 +. =
d 7 log(1) = 0, want 1 = 7°.
8a 5 log(2), 5 log(3), 5 log(1000) hebben allemaal 5 als grondtal. De uitkomst
van de logaritme is een geheel getal als het getal tussen haakjes een macht
van 5 is. De machten 51 = 5,52 = 25, 53 = 125 en 54 = 625 liggen tussen 2 en
1000, dus de logaritmen 5 log(5), 5 log(25), slog(125) en 5 log(625) hebben
een geheel getal als uitkomst.
b 7 log(11
2 ), 7log(3), 7log(10100) hebben allemaal 7 als grondtal. De uitkomst
van de logaritme is een geheel getal als het getal tussen haakjes een macht
1 1
van 7 is. De machten 7-1 = 7' 7-2 = —2 = 149
en 7-3 = 73 = 343 liggen tussen
en 1000, dus de logaritmen 7log(71 ), 7 log(419) en 7 log(343) hebben een geheel
getal als uitkomst.
9a 21og(2) = 12, want 2'\1 = 212 d .log(4) = 3, want 4 = 43 = (4)3
b 7 10 g (49 — 2, want 419 = = 7-2 e hog(9) = -2, want 9 = =
1. 1 ,, -2
72
(ï)
c 1° log(1 000000) = 6, want 1 000 000 = 106 f 25 log(5) = 1, want 5 = 25 = 25
Voorkennis: Exponentiële functies
Pagina 12
Vla In 2 jaar neemt de dagwaarde af van 25 000 euro naar 20 250 euro.
20 250
De groeifactor per 2 jaar is 25 000=0,81. De groeifactor per jaar is
,1
dus ( 0,81)2 = 0,9.
b De afname per jaar is (1 — 0,9) • 100% = 10%.
c W= 25000 • 0,9' geeft
t in jaren 0 1 2 3 4 5
Win euro 25 000 22 500 20 250 18 225 16 402,5 14 762,25
De benadering is zeer goed, want de waarden komen overeen met de waarden
in de tabel.
d Per 10 jaar is de groeifactor 0,91° 0,3487.
e Per 10 jaar neemt de dagwaarde af met (1 — 0,3487) • 100% ---- 65,1%.
v-2a Bij een exponentiële functie staat in de exponent een uitdrukking in x.
De exponentiële functies zijn dus f(x) = 4 • Mx, g(x) = 2 • 1,7x en
j(x) = 7 • 1,0001x.
b De functies g enj zijn stijgend, omdat de waarde van y altijd toeneemt als x
toeneemt. De groeifactor is dan groter dan 1. Bij g enjzijn de groeifactoren
1,7 en 1,0001.
c Voor het snijpunt van de grafieken met de y-as geldt x = 0.
Invullen in de functies geeft de y-coiirdinaat:
f(0) = 4 • Gr = 4 • 1 = 4, dus (0, 4) is het snijpunt voor de grafiek van,/
g(0) = 2 1,7° = 2 • 1 = 2, dus (0, 2) is het snijpunt voor de grafiek van g.
j(0) = 7 • 1,0001° = 7 • 1 = 7, dus (0, 7) is het snijpunt voor de grafiek van j.
V-3a De beginhoeveelheid b = 1720 en de groei per jaar is 5,7%,
dus de groeifactor g = 1,057.
Het functievoorschrift is f(t) = 1720 • 1,0571.
b De beginhoeveelheid is 37 980 en de groeifactor per week is 100 — 0,5 = 99,5%,
dus de groeifactor g = 0,995.
Het functievoorschrift is f(t) = 37 980.0,9951.
c De hoeveelheid neemt met 25% per dag toe, dus na één dag is er 25% meer en
groeit de hoeveelheid 1,25 keer. De groeifactor g = 1,25.
12500
Voor t = 2 is de hoeveelheid 12 500 dus 12500 = b - 1,252 b = = 8000.
1 ,252
Het functievoorschrift is f(t) = 8000 • 1,25'.
, HOOFDSTUK 1 LOGARITMISCHE FUNCTIES
37 014 ( 37 014
d Uit 134 780 . g • g • g = 37 014 volgt g3 = g=
134 780 134 780) - 0'65'
134 780
Voor t = 2 is de hoeveelheid 134 780 dus 134 780 = b • 0,652 = b = - 319006.
0,652
Het functievoorschrift is f(t) = 319006 • 0,65'.
Pagina 13
V-4a 53 . 54 = 5.5.5. 5.5.5.5 = 57
b (72)5 = (72) . (72) . (72) , (72) , (72) = 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 = 710
1 23 2.2.2 2, • 2.2 1 1
c
2-4 23 24 23 24 2•2•2•2 2 •2„ 2. 2 2' -
d (53)2 - 55 = (53) • (53) • 55 = 5 5 - 5 • 5 5 - 5 • 5 - 5 - 5 - 5 • 5 = 511
V-5a 7-3 =
73
1
b g-5 =
G) 2 = (3-1)-2 = 3-1 • -2 = 32 = 9
V-6a 314. 3-16 = 314+(-16) = 314-16 = 3-2 C 7x+1 . 7-x+3 = 7(x+1)+(-x+3)
a -5 , al2 = a-3-5+12 = a4 7x+1-x+3 = 71+3 = 74
b (1-3
v-7a 21 +5x = 8 d 8 - 4P = 2
21+5x = 23 23 • (22) = 21
1 + 5x = 3 23. 22,p = 21
5x = 2 23+ 2P = 21
,... 2
X— 3 + 2p = 1
13 52" = 25 2p = -2
52t-8 = 5-2 P = -1
2t-8 = -2 e 6.6x= 6
2t = 6 61+x = 6-1
t=3 1 + x = —1
c 3-t = 9 x = —2
3-t = 32 f 52t•53t =
-t = 2 55t = 5o
t = —2 51=0
t=0
V- 8a 3-x =5.
Het lukt niet om 5 als macht van 3 te schrijven. Met de rekenmachine:
Y1 = 3"(-X) en Y2 = 5.
Venster: standaard
Calc intersect geeft als oplossing x -1,46.
b 4 • r+3 7
Het lukt niet om 7 als macht van 2 te schrijven. Met de rekenmachine:
Y1 = 4*2^(X+3) en Y2 = 7.
Venster: standaard
Caic intersect geeft als oplossing x -2,19.
, HOOFDSTUK 1 LOGARITMISCHE FUNCTIES
c 50,3x = 1 + 2-x.
Met de rekenmachine:
Y1 = 5^(0.3X) en Y2 = 1+2^(—X).
Venster: standaard
Calc intersect geeft als oplossing x 0,89.
d —3x + 4 = —4 + (212-x
Met de rekenmachine:
Y1 = —3X+4 en Y2 = —4+0.5^(2—X).
Venster: standaard
Calc intersect geeft als oplossing x 2,27.
1-1 Logaritmen
Pagina 14
la 2x = 4 d 5x=
2x = 22 5x = Sz
x=2 x= 2
b 3x = 27 e 2x = 256
3x = 33 2x = 28
X = 3 x=8
c 10x= f 3x = (D4
10x = 10-1 3x = (3-1)4
x = —1 3x = 3-4
x = —4
2a 3x = a is algebraïsch op te lossen als a een macht van 3 is. Tussen 1 en 10 zijn
de getallen 3 en 9 machten van 3.
b Tussen 100 en 1000 liggen de machten 35 = 243 en 36 = 729, dus a = 243 en
a = 729.
3a De vergelijking los je exact op door de exponenten met elkaar te vergelijken.
De grondtallen moeten dan gelijk zijn. Omdat 7 niet als macht van 2 te
schrijven is en 2 niet als macht van 7 lukt het niet om een gemeenschappelijk
grondtal te vinden.
b Met de rekenmachine: 22,80 6,96 en 22,81 7,01.
6,96 < 7 < 7,01
22,80 < 2x < 22,81
Voor een waarde van x ergens tussen 2,80 en 2,81 zal 2x de waarde 7
aannemen, dus geldt voor de oplossing 2,80 < x < 2,81.
c Met de rekenmachine:
Y1 = 2^X en Y2 = 7.
Venster: standaard
Calc intersect geeft als oplossing x 2,8074.
, HOOFDSTUK 1 LOGARITMISCHE FUNCTIES
4a 32 = 9 en 33 = 27
9 < 25 < 27
32 <3x<33
Voor 3x = 25 ligt x dus tussen 2 en 3.
b 32 = 9 en 33 = 27
9 < 15 < 27
32 <3x<33
Voor 3x = 15 ligt x dus tussen 2 en 3.
61 = 6 en 62 = 36
6 < 30 < 36
61 < 6x < 62
Voor 6x = 30 ligt x dus tussen 1 en 2,
De oplossing van 3x = 15 is dus groter.
5a 7x = 4 = x = 7 log(4) c 5x= 14 x = slog(14)
b 7x= 10= x = /log(10) d 5x= 125= 5x =53 = x = 3
6a x = 3 log(5) 3x = 5
b x =7 104 =
C x = 4 is de oplossing van bijvoorbeeld 2x = 16, = 4 of 3x = 34, dus van
3x = 81.
Pagina 15
7a 3 log(27) = 3, want 27 = 33.
b 21°4) = -3, want 4 = 2-3.
c slog(5) = 11, want 5.\I = 5 . = 51 . = 51 +. =
d 7 log(1) = 0, want 1 = 7°.
8a 5 log(2), 5 log(3), 5 log(1000) hebben allemaal 5 als grondtal. De uitkomst
van de logaritme is een geheel getal als het getal tussen haakjes een macht
van 5 is. De machten 51 = 5,52 = 25, 53 = 125 en 54 = 625 liggen tussen 2 en
1000, dus de logaritmen 5 log(5), 5 log(25), slog(125) en 5 log(625) hebben
een geheel getal als uitkomst.
b 7 log(11
2 ), 7log(3), 7log(10100) hebben allemaal 7 als grondtal. De uitkomst
van de logaritme is een geheel getal als het getal tussen haakjes een macht
1 1
van 7 is. De machten 7-1 = 7' 7-2 = —2 = 149
en 7-3 = 73 = 343 liggen tussen
en 1000, dus de logaritmen 7log(71 ), 7 log(419) en 7 log(343) hebben een geheel
getal als uitkomst.
9a 21og(2) = 12, want 2'\1 = 212 d .log(4) = 3, want 4 = 43 = (4)3
b 7 10 g (49 — 2, want 419 = = 7-2 e hog(9) = -2, want 9 = =
1. 1 ,, -2
72
(ï)
c 1° log(1 000000) = 6, want 1 000 000 = 106 f 25 log(5) = 1, want 5 = 25 = 25
