UNIVERSIDAD NACIONAL DE LUJÁN
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
(CÓDIGO 10022)
CARRERAS DE: INGENIERÍA EN ALIMENTOS
INGENIERÍA INDUSTRIAL
LICENCIATURA EN CIENCIAS. BIOLÓGICAS
PROFESORADO EN CIENCIAS. BIOLÓGICAS
PROFESORADO EN FÍSICA
NOTAS SOBRE ESTUDIO DE FUNCIONES
DOCENTE RESPONSABLE:
DR. ALBERTO FORMICA
, Universidad Nacional de Luján
Análisis Matemático I (Código 10022)
Notas sobre Estudio de Funciones
Una introducción al “Estudio de Funciones”
Como sabemos, una función puede venir definida a través de distintos registros de representación
como ser, por ejemplo, una “fórmula”, o un gráfico, o una tabla, entre otras.
La representación gráfica de una función, aporta mucha información cualitativa de la función, que
podría ampliarse si dispusiéramos de algunos datos adicionales a esta información. Entre las
características cualitativas, podemos distinguir que hay sectores de la gráfica que se corresponden
con el crecimiento o decrecimiento de la función, nos permite ver si alcanza o no extremos
(máximos o mínimos), si éstos son absolutos o relativos, nos proporciona también la certeza de que
la función tenga o no asíntotas de algún tipo, y cuál es el tipo de “concavidad” que tiene en cada
tramo. Lo que no siempre puede determinarse son los intervalos en los que la función crece o
decrece, ni cuáles son las coordenadas de los extremos o en qué intervalos tiene una concavidad u
otra entre otras cosas. Podríamos preguntarnos ¿hay alguna forma de conocer estos datos? Si sólo
conocemos el gráfico, probablemente no. Pero si conociéramos la expresión o fórmula que define a
la función del gráfico, seguramente sí.
Por otro lado, dado que el conocimiento del gráfico de una función proporciona tanta información
“inmediata” sobre el fenómeno que modeliza la función, y esto podría ser de gran ayuda para
muchas cuestiones, ¿no podrá confeccionarse un gráfico de la función cuando sólo se conoce la
fórmula que la define, y complementar así parte de la información que se necesite conocer de ella?
Si de una función se conoce únicamente su expresión y dominio de definición ¿no se podrá
confeccionar un gráfico aproximado donde volcar información de “rápido acceso”? La respuesta es
que sí. Podremos hacer un gráfico donde se reflejen cuestiones particulares del comportamiento de
la función, y para ello, es de gran utilidad conocer varias cuestiones del Análisis Matemático
relacionadas con la derivabilidad de las funciones.
Algunos conceptos previos
El estudio que haremos, como ya lo adelantamos, consistirá en conseguir información que nos
permita conocer cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía) de la
función, los extremos (máximos o mínimos) y los intervalos de concavidad, entre otras cosas. Para
eso, tengamos presentes algunas definiciones que son de uso corriente.
Definición (Función creciente)
Una función f definida en un conjunto A = Dom(f) se dice que es estrictamente creciente en el
intervalo (a; b) ⊆ A si y sólo sí se verifica que
∀x1, x2 ∈ (a; b), si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2)
Si sólo puede asegurarse que
∀x1, x2 ∈ (a; b), si x1 < x2 entonces f(x1) ≤ f(x2)
diremos simplemente que la función f es creciente en el intervalo (a; b).
Del mismo modo, se define lo que significa que una función sea decreciente en un intervalo. La
siguiente podría ser una definición de tal concepto.
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, Universidad Nacional de Luján
Análisis Matemático I (Código 10022)
Notas sobre Estudio de Funciones
Definición (Función decreciente)
Una función f definida en un conjunto A = Dom(f) se dice que es estrictamente decreciente en el
intervalo (a; b) ⊆ A si y sólo sí se verifica que
∀x1, x2 ∈ (a; b), si x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2)
Si sólo puede asegurarse que
∀x1, x2 ∈ (a; b), si x1 < x2 entonces f(x1) ≥ f(x2)
diremos que la función f es decreciente en el intervalo (a; b).
y
y
–1 x f
2
x
f
Función estrictamente Función “creciente”
creciente en (–1; 2)
Observación:
Usualmente, se considera que una función es creciente cuando lo es estrictamente, por lo que en
muchas ocasiones, al referirnos a función creciente, estaremos hablando de función estrictamente
creciente (idem para decreciente), salvo que se haga una indicación especial en este sentido.
Un nombre: Si una función es creciente en todo su dominio o decreciente en todo su dominio,
diremos que la función es monótona en su dominio. Por ejemplo: las funciones lineales son
funciones monótonas, mientras que las funciones cuadráticas no lo son.
Estudiar los intervalos de monotonía de una función, será estudiar los intervalos de crecimiento o
decrecimiento de la función
Definición (Extremos absolutos: Máximo y Mínimo)
Sea f una función definida en un conjunto A = Dom(f) ⊆ IR
• Diremos que f alcanza un máximo absoluto en x0 ∈ A si y sólo sí se verifica que
∀x ∈ A, f(x) ≤ f(x0)
• Diremos que f alcanza un mínimo absoluto en x0 ∈ A si y sólo sí se verifica que
∀x ∈ A, f(x) ≥ f(x0)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO I
(CÓDIGO 10022)
CARRERAS DE: INGENIERÍA EN ALIMENTOS
INGENIERÍA INDUSTRIAL
LICENCIATURA EN CIENCIAS. BIOLÓGICAS
PROFESORADO EN CIENCIAS. BIOLÓGICAS
PROFESORADO EN FÍSICA
NOTAS SOBRE ESTUDIO DE FUNCIONES
DOCENTE RESPONSABLE:
DR. ALBERTO FORMICA
, Universidad Nacional de Luján
Análisis Matemático I (Código 10022)
Notas sobre Estudio de Funciones
Una introducción al “Estudio de Funciones”
Como sabemos, una función puede venir definida a través de distintos registros de representación
como ser, por ejemplo, una “fórmula”, o un gráfico, o una tabla, entre otras.
La representación gráfica de una función, aporta mucha información cualitativa de la función, que
podría ampliarse si dispusiéramos de algunos datos adicionales a esta información. Entre las
características cualitativas, podemos distinguir que hay sectores de la gráfica que se corresponden
con el crecimiento o decrecimiento de la función, nos permite ver si alcanza o no extremos
(máximos o mínimos), si éstos son absolutos o relativos, nos proporciona también la certeza de que
la función tenga o no asíntotas de algún tipo, y cuál es el tipo de “concavidad” que tiene en cada
tramo. Lo que no siempre puede determinarse son los intervalos en los que la función crece o
decrece, ni cuáles son las coordenadas de los extremos o en qué intervalos tiene una concavidad u
otra entre otras cosas. Podríamos preguntarnos ¿hay alguna forma de conocer estos datos? Si sólo
conocemos el gráfico, probablemente no. Pero si conociéramos la expresión o fórmula que define a
la función del gráfico, seguramente sí.
Por otro lado, dado que el conocimiento del gráfico de una función proporciona tanta información
“inmediata” sobre el fenómeno que modeliza la función, y esto podría ser de gran ayuda para
muchas cuestiones, ¿no podrá confeccionarse un gráfico de la función cuando sólo se conoce la
fórmula que la define, y complementar así parte de la información que se necesite conocer de ella?
Si de una función se conoce únicamente su expresión y dominio de definición ¿no se podrá
confeccionar un gráfico aproximado donde volcar información de “rápido acceso”? La respuesta es
que sí. Podremos hacer un gráfico donde se reflejen cuestiones particulares del comportamiento de
la función, y para ello, es de gran utilidad conocer varias cuestiones del Análisis Matemático
relacionadas con la derivabilidad de las funciones.
Algunos conceptos previos
El estudio que haremos, como ya lo adelantamos, consistirá en conseguir información que nos
permita conocer cuáles son los intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía) de la
función, los extremos (máximos o mínimos) y los intervalos de concavidad, entre otras cosas. Para
eso, tengamos presentes algunas definiciones que son de uso corriente.
Definición (Función creciente)
Una función f definida en un conjunto A = Dom(f) se dice que es estrictamente creciente en el
intervalo (a; b) ⊆ A si y sólo sí se verifica que
∀x1, x2 ∈ (a; b), si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2)
Si sólo puede asegurarse que
∀x1, x2 ∈ (a; b), si x1 < x2 entonces f(x1) ≤ f(x2)
diremos simplemente que la función f es creciente en el intervalo (a; b).
Del mismo modo, se define lo que significa que una función sea decreciente en un intervalo. La
siguiente podría ser una definición de tal concepto.
1
, Universidad Nacional de Luján
Análisis Matemático I (Código 10022)
Notas sobre Estudio de Funciones
Definición (Función decreciente)
Una función f definida en un conjunto A = Dom(f) se dice que es estrictamente decreciente en el
intervalo (a; b) ⊆ A si y sólo sí se verifica que
∀x1, x2 ∈ (a; b), si x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2)
Si sólo puede asegurarse que
∀x1, x2 ∈ (a; b), si x1 < x2 entonces f(x1) ≥ f(x2)
diremos que la función f es decreciente en el intervalo (a; b).
y
y
–1 x f
2
x
f
Función estrictamente Función “creciente”
creciente en (–1; 2)
Observación:
Usualmente, se considera que una función es creciente cuando lo es estrictamente, por lo que en
muchas ocasiones, al referirnos a función creciente, estaremos hablando de función estrictamente
creciente (idem para decreciente), salvo que se haga una indicación especial en este sentido.
Un nombre: Si una función es creciente en todo su dominio o decreciente en todo su dominio,
diremos que la función es monótona en su dominio. Por ejemplo: las funciones lineales son
funciones monótonas, mientras que las funciones cuadráticas no lo son.
Estudiar los intervalos de monotonía de una función, será estudiar los intervalos de crecimiento o
decrecimiento de la función
Definición (Extremos absolutos: Máximo y Mínimo)
Sea f una función definida en un conjunto A = Dom(f) ⊆ IR
• Diremos que f alcanza un máximo absoluto en x0 ∈ A si y sólo sí se verifica que
∀x ∈ A, f(x) ≤ f(x0)
• Diremos que f alcanza un mínimo absoluto en x0 ∈ A si y sólo sí se verifica que
∀x ∈ A, f(x) ≥ f(x0)
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