LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME : DAS GAUD-VERFAHREN
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) lässt sich mit dem Gauß-Verfahren vereinfachen.
Ia + b + c = X
(Dreiecksform : #
b c Y
sind
=
+
Folgende Umformungen möglich c = 2
·
einer Gleichung mit einer reellen Zahl r
Multiplikation O
·
Addition zweier Gleichungen
·
Vertauschen von
Gleichungen
LGS : LÖSUNGEN
Ein LGS kann immer entweder 1, keine oder unendlich viele Lösungen haben.
keine Lösung
(1) 2x +
2y + 2z = 6
(II) X -
y-22 =
2 Addition der zweiten zur dritten
Gleichung
(II) -
X -
y
-
z = 4
(I)2x +
2y + 22 = 6
(1) x 22 2 1 2
y
=
- .
-
L
(t)0 -
2y -
32 = 6
(1) 2x +
2y + 2z = 6
der
(t) 0 -
4y-62 = -2 Multiplikation der zweiten Gleichung mit 2
,
Subtraktion ersten
Gleichung
(t)0 -
2y
-
32 = 6 1 .
2
(I)2x +
2y + 2z = 6
(t)0 -
4y
-
62 = -
2
(t)0 + 0 + 0 = 18 keine Lösung
xyz =
A xyz =
a
xyz =
a
0 yz = b 0 yz =
b 0 yz =
b
000 =
14 005 =
1 000 =
0
keine Lösung, 1
Lösung -Lösungen
weil Widerspruch
,3- DIMENSIONALES KOORDINATENSYSTEM
1
5-
a =
(5)
4-
3-
I
-
- 5
- 3
·
1
-
I
- 2
I
- 1
I
12 ↓ X2
I
i
I
!
-
3 -
2 -
1
= !
- - - - -
!
Y
1
I -
1
-
2
I
3
I -
2
-
4
I
X L
j
-3-
-
4-
-
5-
, LINEARE ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT
Überprüfen von linearer (Un) abhängigkeit :
0
xyz = 0
xyz =
0 0 0 0
yz =
yz =
00 0 = O 005 =
0
*
Lösungen r =
s = + = 0
abhängig unabhängig
Kollinearität
Ein Vektor ist ein Vielfaches eines anderen Vektors (Vektoren verlaufen parallel zueinander) . 2 Vektoren
a = r . oder r + s . =, wenn = #O
Komplanarität
Die Pfeile dreier Vektoren lassen sich in einer Ebene darstellen. 3 Vektoren
Wenn einer der drei Vektoren der Nullvektor (8) ist
,
sind die Vektoren immer komplanar .
a = r . 5 + s .
Zwei Vektoren sind immer komplanar ·
Komplanar
= linear
abhängig ,
weil sie nur dann zu kommen können.
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) lässt sich mit dem Gauß-Verfahren vereinfachen.
Ia + b + c = X
(Dreiecksform : #
b c Y
sind
=
+
Folgende Umformungen möglich c = 2
·
einer Gleichung mit einer reellen Zahl r
Multiplikation O
·
Addition zweier Gleichungen
·
Vertauschen von
Gleichungen
LGS : LÖSUNGEN
Ein LGS kann immer entweder 1, keine oder unendlich viele Lösungen haben.
keine Lösung
(1) 2x +
2y + 2z = 6
(II) X -
y-22 =
2 Addition der zweiten zur dritten
Gleichung
(II) -
X -
y
-
z = 4
(I)2x +
2y + 22 = 6
(1) x 22 2 1 2
y
=
- .
-
L
(t)0 -
2y -
32 = 6
(1) 2x +
2y + 2z = 6
der
(t) 0 -
4y-62 = -2 Multiplikation der zweiten Gleichung mit 2
,
Subtraktion ersten
Gleichung
(t)0 -
2y
-
32 = 6 1 .
2
(I)2x +
2y + 2z = 6
(t)0 -
4y
-
62 = -
2
(t)0 + 0 + 0 = 18 keine Lösung
xyz =
A xyz =
a
xyz =
a
0 yz = b 0 yz =
b 0 yz =
b
000 =
14 005 =
1 000 =
0
keine Lösung, 1
Lösung -Lösungen
weil Widerspruch
,3- DIMENSIONALES KOORDINATENSYSTEM
1
5-
a =
(5)
4-
3-
I
-
- 5
- 3
·
1
-
I
- 2
I
- 1
I
12 ↓ X2
I
i
I
!
-
3 -
2 -
1
= !
- - - - -
!
Y
1
I -
1
-
2
I
3
I -
2
-
4
I
X L
j
-3-
-
4-
-
5-
, LINEARE ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT
Überprüfen von linearer (Un) abhängigkeit :
0
xyz = 0
xyz =
0 0 0 0
yz =
yz =
00 0 = O 005 =
0
*
Lösungen r =
s = + = 0
abhängig unabhängig
Kollinearität
Ein Vektor ist ein Vielfaches eines anderen Vektors (Vektoren verlaufen parallel zueinander) . 2 Vektoren
a = r . oder r + s . =, wenn = #O
Komplanarität
Die Pfeile dreier Vektoren lassen sich in einer Ebene darstellen. 3 Vektoren
Wenn einer der drei Vektoren der Nullvektor (8) ist
,
sind die Vektoren immer komplanar .
a = r . 5 + s .
Zwei Vektoren sind immer komplanar ·
Komplanar
= linear
abhängig ,
weil sie nur dann zu kommen können.
